§ 6. ЭЛЕМЕНТЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

 

1. Изобразите плоскость a. На сколько частей делит она все пространство? На сколько частей делит все пространство любая плоскость?

2. Изобразите две пересекающиеся в точке O прямые a и b, лежащие в плоскости a.

3. По рисунку 61 выпишите, какие отрезки лежат в плоскости b.

4. На рисунке 62 изображена известная вам неплоская фигура куб ABCDA₁B₁C₁D₁ (A…D₁). Все ребра куба равны, все углы в гранях – прямые. Почему некоторые отрезки изображены пунктиром?

5. Выпишите по рисунку 62 отрезки, которые: а) лежат в плоскости ; б) имеют только одну общую точку с плоскостью a; в) не имеют общих точек с плоскостью a; г) имеют концы в  точке A₁.

6. По рисунку 62 выпишите все точки, которые: а) принадлежат плоскости грани ABCD; б) принадлежат плоскости грани DD₁C₁C; в) не принадлежат плоскости грани BB₁C₁C; г) не принадлежат плоскости AA₁B.

7. На сколько частей разбивает пространство поверхность куба?

8. Как называется фигура, изображенная на рисунке 63? Сколько отрезков изображено на нем? Сколько отрезков пересекается в точке B?

9. Изобразите угол KLM, лежащий в плоскости g.

10. На рисунке 61 назовите все углы с вершиной в точке O.

11. По рисунку 63 выпишите все углы с вершиной в точке S.

12. Как называется фигура, изображенная на рисунке 64?

13. По рисунку 64 выпишите все углы, лежащие в плоскости a.

14. Сравните по рисунку 64 углы: а) BB₁K и BB₁C₁; б) C₁D₁D и LCC₁.

15. По рисунку 62 выпишите несколько ломаных: а) плоских; б) неплоских. Сколько у них вершин и сторон?

16. На рисунке 62 найдите несколько ломаных, состоящих из: а) 3; б) 4; в) 5; г) 7; д) 7 сторон.

17. На рисунке 62 найдите несколько ломаных: а) простых; б)  замкнутых.

18.  Нарисуйте неплоскую ломаную: а) простую незамкнутую; б) непростую замкнутую.

19. Какие многоугольники лежат в основаниях пирамид, изображенных на рисунке 65. Назовите вершины пирамид.

20. Сколько ребер основании пирамиды: а) 5-угольной; б) 15-угольной; в) 19-угольной; г) n-угольной.

21. Сколько треугольников образуют боковую поверхность пирамиды: а) треугольной; б) четырехугольной; в) 9-угольной; г) n-угольной.

22. Изобразите треугольник ABC, лежащий в плоскости .

23. Назовите все треугольники, изображенные на рисунке 63.

24. На рисунке 66 изображена фигура, которая называется призмой, в данном случае треугольная призма. У нее DABC=DA₁B₁C₁. Выпишите их равные стороны и углы.

25. Докажите, что на рисунке 67, где A…D₁ – куб, равны треугольники: а) ABB₁ и DCC₁; б) AA₁B₁ и DD₁C₁; в) ABB₁ и C₁D₁D.

26. Все треугольники, изображенные на рисунке 68, равносторонние. Изобразите в соответствующих треугольниках: а) высоты, выходящие из вершины D; б) медианы, выходящие из вершины A; в) биссектрисы, выходящие из вершины B.

27. На рисунке 69 SA=SB=SC=SD. Изобразите в соответствующих треугольниках высоты, выходящие из вершины S.

28. По рисунку 62 назовите несколько троек прямых, на которых не могут лежать стороны одного треугольника.

29. На рисунке 69, где SA=SB=SC=SD проведите из вершины S: а) медиану треугольника ASC; б) высоту треугольника BSD.

30. Найдите на рисунке 70 равные треугольники и проведите из вершины D высоту треугольника ADB.

31. Дан куб A…D₁ (рис. 71). Определите вид треугольника A₁DC₁.

32. Дан куб A…D₁ (рис. 72). Докажите равенство треугольников BC₁D и AB₁D₁.

33. На рисунке 73 изображен куб A…D₁. Равны ли отрезки: а) AD и B₁C₁; б) B₁D и BD₁; в) A₁C и B₁D; г) BD и A₁C₁?

34. Определите число вершин у пирамиды: а) треугольной; б) четырехугольной; в) пятиугольной; г) n-угольной.

35. Определите число ребер у пирамиды: а) треугольной; б) четырехугольной; в) пятиугольной; г) n-угольной.

36. Определите общее число углов в гранях пирамиды: а) треугольной; б) четырехугольной; в) пятиугольной; г) n-угольной.

37. Докажите, что диагональ грани куба является биссектрисой соответствующего угла этой грани.

38. Докажите, что у любой пирамиды с равными боковыми ребрами, в основании которой лежит правильный многоугольник, медианы боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, равны между собой.

39. Нарисуйте куб A…D₁ и несколько равносторонних треугольников, стороны которых лежат на его поверхности.

40. Нарисуйте куб A…D₁ и на его поверхности изобразите 6 отрезков, которые являются ребрами правильного тетраэдра. Сколькими способами это можно сделать?